Spatially invariant systems: modelling, analysis and control via polynomial technique

The doctoral thesis deals with modelling, analysis and control of spatially distributed systems. Linear and time- and space-invariant systems are considered. Discretisation of partial differential equations is described. Continuous-time and discrete-time models, both discrete in space are derived. Corresponding transfer function in the form of fraction of two-variable polynomials are obtained. Analysis of stability is formulated using Schur-Cohn and Hermite-Fujiwara matrix of denominator polynomial for continuous time and discrete time, respectively. These matrices are two-sided matrix polynomial in one variable. Their positivity is checked using semidefinite programming. This approach is extended to stabilisation. For this, factorisation do Schur-Cohn matrix is used and new matrix, linear in all coefficients of the characteristic polynomial is built. However, this trick works for systems of order in time equalled to one. Order in space can be arbitrary. Dizertační práce pojednává o modelování, analýze a řízení prostorově distribuovaných systémů. V práci se uvažují lineární, časově a prostorově invariantní systémy. V práci je podrobně popsána metoda diskretizace parciálních diferenciálních rovnic založená na metodě sítí. Odvozeny jsou modely diskrétní v prostoru, jeden časově diskrétní a druhý časově spojitý, a jim odpovídající přenosy ve formě podílu oboustranných víceproměnných polynomů. Analýza stability je v práci formulována pro diskrétní čas pomocí Schurovy-Cohnovy matice, pro spojitý čas pomocí Hermitovy-Fijiwarovy matice odpovídající polynomu ve jmenovateli přenosu. Protože je tento polynom ve dvou proměnných, Schurova-Cohnova i Hermitova-Fujiwarova matice je oboustranný maticový polynom v jedné proměnné. Zda je kladně definitivní, lze vyšetřit užitím semidefinitního programování. Tento postup je rozšířen na úlohu stabilizace soustavy, kde hledáme nějaký regulátor, který stabilizuje danou soustavu. Metoda pro analýzu stability tu nemůže být použita přímo, protože Schurova-Cohnova ani Hermitova-Fujiwarova matice není lineární v koeficientech analyzovaného polynomu. Pro diskrétní čas je využito faktorizace Schurovy-Cohnovy matice a sestavena je nová maticová nerovnice, která je lineární, ale shodnou oblast v prostoru koeficientů polynomu popisuje pouze tehdy, je-li soustava v čase prvního řádu. Řád soustavy v prostoru může být libovolný. Při návrhu regulátoru tímto způsobem může být navíc minimalizováno kritérium, tj. funkce koeficientů charakteristického polynomu uzavřené smyčky. Výsledný regulátor je pak optimální ve smyslu tohoto kritéria.